Question

用适当的坐标求由曲线y=x^2,y=x+1所围平面图形的面积

Answer 1

解：∵y=x²与y=x+1的交点横坐标枝弊分别是x1=(1-√5)/搭搭梁2与x2=(1+√5)/2
∴所求面积=∫<(1-√5)/2,(1+√5)/2>[(x+1)-x²]dx
=(x²/2+x-x³/3)｜<(1-√5)/2,(1+√5)/2>
=[((1+√5)/2)²-((1-√5)/2)²]/2+[(1+√5)/2-(1-√5)/2]-[((1+√5)/2)³-((1-√5)/2)³]/3
=√5/2+√知运5-2√5/3
=5√5/6。

Answer 2

联立：y＝x^2、y＝x＋1，消去y，得：x＋1＝x^2，∴x^2－x＝1，∴（x－1/2）^2＝5/4，
∴x1－1/2＝－√5/2、x2－1/2＝√5/2，∴x1＝1/2－√5/2，x2＝1/2＋√5/2。
显然，有区间［1/2－√5/2，1/汪闹扰2＋√5/2］上，直线y＝x＋1在抛物线y＝x^2的上方。
∴直线与抛物线所围成的区域面积
＝∫（上限为困旦1/2＋√5/2、下限为1/2－√5/2）弯举（x＋1－x^2）dx
＝［（1/2）x^2＋x－（1/3）x^3］｜（上限为1/2＋√5/2、下限为1/2－√5/2）
＝（1/2）［（1/2＋√5/2）^2－（1/2－√5/2）^2］＋［（1/2＋√5/2）－（1/2－√5/2）］
　－（1/3）［（1/2＋√5/2）^3－（1/2－√5/2）^3］
＝（1/2）［（1/2＋√5/2）＋（1/2－√5/2）］［（1/2＋√5/2）－（1/2－√5/2）］＋√5
　－（1/3）√5［（1/2＋√5/2）^2＋（1/2＋√5/2）（1/2－√5/2）＋（1/2－√5/2）^2］
＝（1/2）√5＋√5－（1/3）√5［1＋√5＋（1/4－5/4）］
＝（3/2）√5－（1/3）×5
＝3√5/2－5/3。