已知a>0,y>0,且x+y=1.求(x+1/x)²+(y+1/y)²的最小值
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解：
1=x+y≥2√xy
∴ 0< xy≤1/4 （当且仅当x=y=1/2时等号成立）
f(t)=t+1/t 在(0,1)上是减函数
若 t∈(0,1/4】
则 最小值为f(1/4)=17/4
即若0< xy≤1/4 ,则 xy+1/xy≥17/4 （当xy=1/4时等号成立）
∴ (x+1/x)²+(y+1/y)²
=x²+2+1/x²+y²+2+1/y²
=(x²+y²)+(1/x²+1/y²)+4
≥2(xy+1/xy)+4 (当且仅当x=y时等号成立）
≥2*(17/4)+4（当xy=1/4时等号成立）
=25/2
所以 当x=y=1/2时，
(x+1/x)²+(y+1/y)²的最小值为25/2
1=x+y≥2√xy
∴ 0< xy≤1/4 （当且仅当x=y=1/2时等号成立）
f(t)=t+1/t 在(0,1)上是减函数
若 t∈(0,1/4】
则 最小值为f(1/4)=17/4
即若0< xy≤1/4 ,则 xy+1/xy≥17/4 （当xy=1/4时等号成立）
∴ (x+1/x)²+(y+1/y)²
=x²+2+1/x²+y²+2+1/y²
=(x²+y²)+(1/x²+1/y²)+4
≥2(xy+1/xy)+4 (当且仅当x=y时等号成立）
≥2*(17/4)+4（当xy=1/4时等号成立）
=25/2
所以 当x=y=1/2时，
(x+1/x)²+(y+1/y)²的最小值为25/2
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