Question

梯形ABCD中，AB//CD，E为BC中点，EF⊥AD于点F，求证，S梯=EF×AD

要四种方法 （有四种辅助线）急 做平行四边形那个已证出，求其余三种

Answer 1

证明：【设AB＜CD】

1.

过E点，作MN//AD，交AB延长线于M，交CD于N【你已做出来了】

则∠M=∠ENC，∠MBE=∠C

又∵BE=CE

∴⊿BEM≌⊿CEN（AAS）

∴S⊿BEM=S⊿CEN

∴S梯=S◇ADNM

∵AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∴S◇ABCD=EF×AD

∴S梯=EF×AD

2.【后面略证，点到为止】

连接AE交DC延长线于G

则⊿ABE≌⊿GCE

∴S梯=S⊿ADG

作GH⊥AD于H

∵AE=EG

∴EF=½GH

∴S⊿ADG=½AD×GH=AD×EF

3.【同2】

连接DE交AB延长线于G

4.过E点作MN⊥AB，交AB延长线于M，交DC于N。连接AE，DE

∵BE=CE

∴EM=EN=½MN

∵S⊿ABE=½AB×EM=¼AB×MN

   S⊿DCE=½CD×EN=¼CD×MN

∴S⊿ABE+S⊿DCE=¼（AB+CD）×MN=½S梯

∴S⊿ADE=½S梯

∵S⊿ADE=½AD×EF

∴S梯=AD×EF