Question

为什么f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的必要条件，而不是充要条件

为什么f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf（x）=∞存在的必要条件，而不是充要条件

Answer 1

“为什么f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的必要条件，而不是充要条件”
考虑f(x)在某点处左右极限不相等的情况！

必要性：
由极限定义：
∵lim(x→x0)f(x)=∞
∴对于任意的M>0,存在δ>0,st.0<|x-x0|<δ,有：
|f(x)|>M
∴f(x)在去心领域U(x0,δ)内无界
即：f(x)在X0的某一去心邻域内无界是在该点极限无穷的必要条件
充分性：
证明不充分只要找出反例即可
有f(x)=1/x
在去心领域U(1,1)即(0,1)∪(1,2)上无界,
但lim(x→1)f(x)=f(1)=1≠∞
即不充分

Answer 2

这个要从极限的原理定义上理解就可以了，也就是极限的严格定义ε-δ语方上理解的。