Question

已知函数f(x)=-ax^3-x^2+x,当x>=1/3时,f(x)<=ax恒成立求a范围

Answer 1

f(x)≤ax ,（x≥1/3) 恒成立
即 -ax^3-x^2+x≤ax
即 a(x^3+x)≥-x^2+x
∵x≥1/3 约去x
∴a(x^2+1)≥1-x
即a≥(1-x)/(x^2+1) 恒成立
设g(x)=(1-x)/(1+x^2)
g'(x)=[-1-x^2-(1-x)*2x]/(x^2+1)^2
= (x^2-2x-1)/(x^2+1)^2
由 g'(x)>0 即x^2-2x-1>0 (x≥1/3)
得 x>1+√2 , g(x)递增
由 g'(x)<0 即x^2-2x-1<0 (x≥1/3)
得 1/3≤x<1+√2,g(x)递减
(1+√2,+∞)上1-x<0,g(x)<0
[1/3,1+√2)上g(x)递减，
g(x)max=g(1/3)=3/5
∴ x≥1/3时， g(x)max=3/5
∴a≥3/5