Question

怎么求z=(1+xy)^y对y的偏导数？

Answer 1

用对数求导法：lnz=y ln(1+xy) , 设z=(1+xy)^y对y的偏导数为t，则
(1/z)t= ln(1+xy)+[y /(1+xy)]x
=ln(1+xy)+xy /(1+xy)
所以 t=z[ln(1+xy)+xy /(1+xy)]

Answer 2

lnz=y(1+xy)
(1/z)(dz/dy)=ln(1+xy)+(yx)/(1+xy)
dz/dy=[ln(1+xy)+(yx)/(1+xy)]z
dz/dy=[ln(1+xy)+(yx)/(1+xy)](1+xy)^y

Answer 3

直接微分：
dz=d[(1+xy)^y]=y(1+xy)^(y-1)d(xy)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y(1+xy)^(y-1)(xdy+ydx)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y^2(1+xy)^(y-1)dx+[xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy)]dy
注意dz=z_xdx+z_ydy,最后一式中方括号中就是所要求：
z_y=xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy).
或者利用2元函数求偏导数结合复合函数求导数计算：
记z=(1+u)^v,u=xy,v=y,……