Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4,使其导数f'(x)>0的x的取值范围为（1，3），求：(1)f(x)的解析式(2)若过点P（-1，m）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

Answer 1

分析：（1）导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）得到1和3分别为函数的极小值和极大值点即f′（1）=0且f′（3）=0，且
有f（1）=-4，三者联立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式；
（2）设过A作的切线的切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0），根据A的坐标和切线的斜率写出切线方程，要使过P可作曲线的三条切线，即把切点坐标代入切线方程中化简可得m=2x03-3x02-12x0+9方程有三个解，设g（x）=2x3-3x2-12x+9，求出g′（x）=0时x的值，利用导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到g（x）的最大值和最小值，即可得到m的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极值小，极大值点，
∴{f′(1)=0f′(3)=0f(1)=-4解得a=-1，b=6，c=-9，
所以f（x）=-x3+6x2-9x；
（2）设过P点切线的切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率k=-3x02+12x0-9
切线方程为y=（-3x02+12x0-9）（x+1）+m，
故y0=（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0
要使过P可作曲线y=f（x）三条切线，则方程关于（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0有三解．
m=2x03-3x02-12x0+9，令g（x）=2x3-3x2-12x+9，
g′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2）=0，易知x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
故g（x）极小值=-11，g（x）极大值=16，
故满足条件的m的取值范围：-11＜m＜16