Question

如图，AB为圆心O的直径，C为圆上一点，延长BC至D使CD=BC，连接AD过C作CE垂直AD于E，BE交圆心O于F

求证：（1）ＣＥ为圆心Ｏ的切线；（２）ＥＦ×EB=AE× DE

Answer 1

1、证明：
连接OC
因为CD=BC，AO=BO
所以OC是△BAD的中位线
所以OC//AD,
因为CE⊥AD
所以CE⊥OC
所以CE为圆心O的切线
2、证明
连接AC
因为AB是直径，所以∠ACB=∠ACD=90°
所以∠D=90°-∠CAD
因为CE⊥AD
所以∠CBA=∠CBD=90°
∠ACE=90°-∠CAD=∠D
∠ECD=90°-∠D=∠ACE
所以△ACE∽△CDE
所以AE/CE=CE/DE所以CE^2=AE*ED

连接FC，
因为∠FCE是弦切角，所以∠FCE=∠EBC
又∠CEB=∠CEB=∠CEF(E,F,B共线)
所以△CEF∽△BEC
所以CE/EF=EB/CE所以CE^2=EF*EB
所以EF×EB=AE× DE