Question

用定义法证明函数f（x）=1+1/x-1在（1，+∞）上是减函数

Answer 1

设 x1 x2 ∈(1,正无穷) 且 x1>x2
则
f(x1)-f(x2)
=1+1/(x1-1)-1-1/(x2-1)
=1/(x1-1)-1/(x2-1)
=(x2-1-x1+1)/[(x1-1)(x2-1)]
=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]
因为 x1>1 x2>1
所以 (x1-1)>0 (x2-1)>0
得 (1-x1)(1-x2)>0
又 x1>x2
所以 x2-x1<0
得
f(x1)-f(x2)<0
所以 f(x1)<f(x2)
得 明函数f（x）=1+1/x-1在（1，+∞）上是减函数

Answer 2

设x1，x2∈（1，+∞），且x1<x2
f（x1）-f（x2）=1+1/x1-1 -1-1/x2-1
=1/x1-1 -1/x2-1
=x2-1/(x1-1)(x2-1)-(x1-1)/(x1-1)(x2-1)
=(X2-X1)/(x1-1)(x2-1)
∵ x1<x2
∴x2-x1>0
∴x1-1>0，x2-1>0
∴ f（x1）-f（x2）>0
∴f（x1）>f（x2）
故函数f（x）=1+1/x-1在（1，+∞）上是减函数