Question

求和：Sn=a+2a^2+3a^3+……+na^n (a≠0)

Answer 1

若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2。
若a<>1，则Sn=a+2a^2+3a^3+…+na^n (1)
a*(1)得：aSn=a^2+2a^3+3a^4+…+na^(n+1) (2)
(1)-(2)得：(1-a)Sn=a+a^2+a^3+a^4+…+a^n-na^(n+1)=(1-a^n)/(1-a)-na^(n+1)。
所以，Sn=(1-a^n)/(1-a)^2-na^(n+1)/(1-a)。

Answer 2

aSn=a^2+2a^3+..+na^(n+1)
(aSn-na^(n+1))-Sn=-(a+a^2+...+a^n)= -a*(1-a^n)/(1-a)
(a-1)Sn=na^(n+1)-a(a^n-1)/(a-1)
a=1,Sn=n(n+1)/2
a≠1
Sn=(1/(a-1)) n*a^(n+1) -a(a^n-1)/(a-1)^2