Question

已知P是三角形ABC所在平面内一点，向量PB+向量PC+2PA=0,现将一粒黄豆撒在三角形ABC内，

则黄豆落在三角形PBC内的概率是_________________

Answer 1

50%

向量PB+向量PC+2PA=0 => P是BC边中点与A连线的中点 =》S三角形PBC=1/2S三角形ABC

证明：

Answer 2

取三角形边AC上的中点为D，
则由向量加法的平行四边形法则得到向量PB+向量PC=2向量PD
而向量PB+向量PC+2向量PA=0，
所以向量PA=-向量PD
即P点是中线BD的中点.
要求黄豆落在三角形PBC内的概率就是SΔPBC/SΔABC
而SΔPBC=1/2*|BP|*h, 其中h是C点到BD边上的高
SΔBDC=1/2*|BD|*h, 所以SΔPBC/SΔBDC=1/2
而SΔBDC/SΔABC=1/2
所以SΔPBC/SΔABC=1/4, 即所求的概率是1/4.