Question

设P为三角形内部一点,若2AP向量+3BP向量+4CP向量=0,且直线AP交BC于D,令AD向量=XAB向量+YAC向量,则X,Y=?

Answer 1

解：为方便，以下省略向量两字
2AP+3BP+4CP=0向量
可得出
PC=（1/2）AP+（3/4）BP
AD=xAB+yAC
=x(AP+PB)+y（AP+PC)
=（x+y)AP+xPB+yPC
=（x+y)AP+xPB+y(1/2AP+3/4BP)
=(x+3/2y)AP+(x-3/4y)PB
因AD与AP共线，
所以x-3/4y=0，
即x=3/4y （1）

令AD向量=XAB向量+YAC向量
D,B，C三点共线
所以 x+y=1 (2)

联立(1),(2)方程组，
x=3/7，y=4/7

追问

我不明白"因AD与AP共线，所以x-3/4y=0"
跟"D,B，C三点共线,所以 x+y=1"
这两得不明白,可不可以解释一下.THX~

追答

(1)AD 与AP共线
所以AD=kAP
而题中AD=(x+3/2y)AP+(x-3/4y)PB
所以 x-3/4y=0
(2)实际上是个结论
证明：
D,B，C三点共线
BD=kBC
AD-AB=K(AC-AB)
AD=(1-k)AB+k AC
AD向量=XAB向量+YAC
比较系数 1-k=x, k=y
所以 x+y=1