Question

证明如下序列单调收敛并求极限。

Answer 1

证明：单调性，数学归纳法
x1=2，x2=√(-1+2*2)=√3<x1
假设xk<x(k-1)，下证x(k+1)<xk，这里的k-1，k，k+1都是下标
x(k+1)=√(-1+2*xk)<√(-1+2*x(k-1))=xk
因此x(k+1)<xk成立，所以该数列是单减的。
有界性：数学归纳法
x1=2>1，假设xk>1，下证x(k+1)>1
x(k+1)=√(-1+2*xk)>√(-1+2*1)=1成立
因此该数列所有项均是大于1的，有界。
综上该数列极限存在。
设limxn=a，则x(k+1)=√(-1+2*xk)两边取极限得：a=√(-1+2*a)
平方得：a²=-1+2a，即：a²-2a+1=0，得a=1，因此该数列极限为1.

追问

x(k+1)=√(-1+2*xk)两边取极限得：a=√(-1+2*a)
为什么可以像这样两边取极限？

追答

因为x(k+1)与xk的极限是一样的，都是a，因此可以这样取。
不过这种取法必须是在证明了极限存在的前提下才能这样做。