Question

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2009=___

因式分解。要解析，过程谢谢

Answer 1

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2009
=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2009
=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2009.......................合并前两项，公因式是1+x
=(1+x)^2+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2009.......................合并前两项，公因式是(1+x)^2
=(1+x)^3+...+x(1+x)^2009
=........
=(1+x)^2009+x(1+x)^2009
=(1+x)^2010

追问

(1+x)+x(1+x)合并前两项之后怎么变成(1+x)^2了？ x哪里去了

追答

提取公因式(1+x)

(1+x)+x(1+x)
=1*(1+x)+x(1+x)
=(1+x)*(1+x)
=(1+x)^2

明白了么

Answer 2

(1+x)+(1+x)²+...+(1+x)^2009可以看做是首项为1+x,公比为1+x的等比数列的前2009项和
根据等比数列前N项和公式，S=(1+x)[1-(1+x)^2009]/(1-1-x)=(1+x)[(1+x)^2009 -1]/x
那么原式=1+x+x*(1+x)[(1+x)^2009 -1]/x=(1+x)+(1+x)[(1+x)^2009 -1]=(1+x)[1+(1+x)^2009 -1]=(1+x)^2010