Question

证明曲面F（(x-a)/(-c),(y-b)/(z-c)）=0上任一点的切平面通过一定点，其中函数F(u,v)可微，a,b,c为常数

Answer 1

敢问是不是打错了，应该是F（(x-a)/(z-c),(y-b)/(z-c)）=0吧
设曲面任意一点(x1,y1,z1)
Fx=F1/(z-c)
Fy=F2/(z-c)
Fz=[(a-x)/(z-c)^2]F1+[(b-y)/(z-c)^2]F2
在该点处的切平面方程为[F1/(z1-c)](x-x1)+[F2/(z1-c)](y-y1)+[(a-x1)/(z-c)^2]F1+[(b-y1)/(z-c)^2]F2(z-z1)=0，
合并同类项得到：
［x-x1+(z-z1)*(a-x1)/(z1-c)]F1/(z1-c)+［y-y1+(z-z1)*(b-y1)/(z1-c)]F2/(z1-c)=0
因为过定点，故令x-x1+(z-z1)*(a-x1)/(z1-c)=0,y-y1+(z-z1)*(b-y1)/(z1-c)=0
很容易得到x=a,y=b,z=c满足．
没有什么太好的办法，请参考．

追问

F（u,v)这样不是表示只有两个未知数吗，z应该是由x,y构成的函数把，也要坐标表示吗

追答

不是，F(u,v)表示的是一种函数关系，F（(x-a)/(z-c),(y-b)/(z-c)），确实是三元变量，你可以理解为这f(x,y,z)=0上任意一点的切平面通过一定点，建议你多做一些类似题，可以加深理解的，不过想短期内搞明白，可能不行。