把正整数列1,2,3,...中含有数字9的项都删掉，剩下的项按原次序组成一个数列，记作a1,a2,...,an,...
把正整数列1,2,3,...中含有数字9的项都删掉，剩下的项按原次序组成一个数列，记作a1,a2,...,an,...证明：1/a1+1/a2+...+1/an<80...
把正整数列1,2,3,...中含有数字9的项都删掉，剩下的项按原次序组成一个数列，记作a1,a2,...,an,...证明：1/a1+1/a2+...+1/an<80
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易知，从1到10^n中不含数字9的数有9^n个
从而不含9的又8×9^(n-1)
设由10^(n-1)到10^n-1的自然数中不含9的数的倒数之和为Sn，则
Sn＜8×9^(n-1)×1/(10^(n-1))=8×(9/10)^(n-1).
对任意正整数n总存在m使得9^(m-1)≤n＜9^m
故1/a1+1/a2+...+1/an＜S1+S2+...+Sm
=8(1+9/10+(9/10)^2+...+(9/10)^m-1)
=80-8×(9/10)^m＜80 O(∩_∩)O~奥赛题啊
从而不含9的又8×9^(n-1)
设由10^(n-1)到10^n-1的自然数中不含9的数的倒数之和为Sn，则
Sn＜8×9^(n-1)×1/(10^(n-1))=8×(9/10)^(n-1).
对任意正整数n总存在m使得9^(m-1)≤n＜9^m
故1/a1+1/a2+...+1/an＜S1+S2+...+Sm
=8(1+9/10+(9/10)^2+...+(9/10)^m-1)
=80-8×(9/10)^m＜80 O(∩_∩)O~奥赛题啊
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