Question

如图，三角形ABC中，角BAC=90，AD⊥BC于D,M为AD中点,BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F,AE=3，EC=12,则EF=

答案是6.怎么来的啊？？
这是图

Answer 1

过M作MN∥BC交AC于N。
∵AM＝BM、BN∥DC，∴AN＝CN＝AC/2＝（AE＋CE）/2＝（3＋12）/2＝15/2。
且MN＝CD/2。
显然有：EN＝AN－AE＝15/2－3＝9/2。

∵MN∥BC，∴△EMN∽△EBC，∴MN/BC＝EN/CE＝（9/2）/12＝3/8，
∴（CD/2）/（BD＋CD）＝3/8，∴CD/（BD＋CD）＝3/4，∴CD/BD＝3/（4－3）＝3，
∴CD＝3BD，∴BC＝BD＋CD＝4BD。

∵∠BAC＝90°，∴由勾股定理，有：AB^2＝BC^2－AC^2＝（4BD）^2－（AE＋CE）^2，
∴AB^2＝16BD^2－15^2。
∵AB⊥AC、AD⊥BC，∴由射影定理，有：AB^2＝BD×BC＝4BD^2。
∴16BD^2－15^2＝4BD^2，∴12BD^2＝15^2，∴2√3BD＝15，∴BD＝15/（2√3）。
∴CD＝3BD＝45/（2√3）。
再由射影定理，有：AD^2＝BD×CD＝［15/（2√3）］［45/（2√3）］＝（15/2）^2，
∴AD＝15/2。

由AD⊥CD、AD＝15/2、AC＝AE＋CE＝3＋12＝15，∴∠C＝30°。
由EF⊥CF、CE＝12、∠C＝30°，得：EF＝CE/2＝6。