Question

函数题目，求高手解答。

1.设定义在正整数集，取值为正整数的函数f，满足：
（1） 对于所有正整数a，b，有f(a)f(b)=f(ab)
（2） 若a<b,则f(a)<f(b)
（3） f(3)>=7
求f（3）的最小值

2.已知函数f满足对于任意实数x，y，都有f(xy)+f(y-x)>=f(y+x)
（1） 求一个满足条件的非常数多项式f(x)
（2） 求证：对于任意实数x，有f（x）>=0

求高手解答，实在不行，给个思路也好。

Answer 1

解：
首先满足条件（1）的函数只能是形为x^k的函数（k为实数且不等于0）。
假设f(x)=x^k.
因为 a^x*b^k=(a*b)^k.所以f(x)=x^k满足条件（1）。
根据条件（2）可知，f(x)的导数是恒大于0的。(x>=1).
设f(x)的导数是g(x).
则.g(x)=k*x^(k-1).
因为x>=1时，g(x)>0.
所以k>0.

所以我们要的函数就是：f(x)=x^k. (k>0).
因为条件（3）。
f(3)>=7
3^k>=7
所以k>=log3(7). ( k=log3(7)时f(3)=7 ).
这说明能让f(3)等于7的k值是存在的。（可能现在我们头有点大了）

f(x)=x^log3(7)就是满足条件的函数，可以验证一下。（虽然题中给的是正整数集，只要无视它就行了）。

你先看看这样解满意不
如果感觉还行的话，我就把第二题也给你写出来

追问

我才初二,没学过log神马深奥的东西,能不能用初中的方法做?

追答

这样啊，那明天给你个简单的方法，今天太晚了

Answer 2

f(1)*f(2)=f(1*2)=f(2)，解得f(1)=1或f(2)=0
如果f(2)=0，那么f(2)f(3)=f(6)=0，不满足“a<b,则f(a)<f(b)”的条件，所以舍去
故f(1)=1
由于3在正整数范围内只能分解为1*3，而f(1)*f(3)=f(3)显然恒成立，故f(3)最小值可以取到7
【我觉得大概到这一步就够用了，看到有亲给了个函数解析式，但我觉得不对，因为题目要求f(x)只正整数。。。】
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（1）这个是我猜的，思路是这样，首先xy+y-x与x+y的关系不可能满足固定的大小关系，只有平方项才会有类似x²≥0对任意实数恒成立的情况，因此猜想二次函数。首先我猜的是f(x)=x²
欲满足f(xy)+f(y-x)>=f(y+x)，只需f(xy)+f(y-x)-f(y+x)≥0成立
f(xy)+f(y-x)-f(y+x)=x²y²+(y-x)²-(y+x)²=x²y²-4xy=(xy-2)²-4
那么对f(x)再添常数项c，即f(x)=x²+c，那么f(xy)+f(y-x)-f(y+x)=(xy-2)²-4+c
故c≥4时，f(xy)+f(y-x)-f(y+x)≥0恒成立。
所以满足条件的一个函数是f(x)=x²+4

（2）f(xy)+f(y-x)≥f(y+x)
第二问还没想明白。。。

Answer 3

试过了！能力不够呵呵！