Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
变形可得：a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
......
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得：
an/n-a1/1=1/2+......+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+......+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+......+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n

Answer 1

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
an+1=(n+1)/n* an+(n+1)/2^n,
两边同除以(n+1)可得：a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因为bn=an/n
所以b(n+1)-bn=1/2^n
则有：
b(n+1)-bn=1/2^n
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
………………
b2-b1=1/2
等式两边累加可得：
b(n+1)-b1=1/2+......+1/2^(n-1)+1/2^n，
因为a1=1,所以b1=a1/1=1,
所以：
b(n+1)-1=1/2+......+1/2^(n-1) +1/2^n，
b(n+1)=1+1/2+......+1/2^(n-1) +1/2^n，
b(n+1)=(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2),
b(n+1)= 2-1/2^n,
∴bn=2-1/2^(n-1).

Answer 2

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
变形可得：a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
......
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得：
an/n-a1/1=1/2+......+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+......+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+......+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n