已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C, C=60度

若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA(AB-AC)=18[均是向量】求AB的长... 若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA(AB-AC)=18 [均是向量】求AB的长 展开
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2012-04-01 · TA获得超过1673个赞
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(1)ABC是三角形内角
证明:由题设mn=sin2C可得
sinAcosB+cosAsinB=sin2C
由两角和的正弦公式可知
sin(A+B)=sin2C
∵sin(A+B)=sin[180-C]
=sinC
=sin2C
=2sinCcosC
∴sinC=2sinCcosC
∴sinC(2cosC-1)=0
∵sinC≠0
∴2cosC-1=0
∴cosC=1/2
结合0<C<180º可知
C=60º

(2)解:sinA+sinB=2sinC,
∴a+b=2c.(正弦定理)
∴a^2+b^2+2ab=4c^2.(1)
∵向量CA(AB-AC)=18,∴向量CA·CB=18,
∴|CA||CB|cosπ/3=18,即ab=36.(2)
由余弦定理,c^2=a^2+b^2-ab,(3)
由(1)(2)(3)解得:
c=6.
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