Question

已知方程x^2＋y^2－2x－4y＋m＝0 ⑴若此方程表示圆，求实数m的取值

已知方程x^2＋y^2－2x－4y＋m＝0
⑴若此方程表示圆，求实数m的取值范围;
⑵若⑴中的圆与直线x+2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值;
⑶在⑵的条件下，求以MN为直径的圆的方程

Answer 1

(1)
x^2＋y^2－2x－4y＋m＝0
(x-1)^2+(y-2)^2=5-m
因此0<5-m
所以m<5

(2)
OM⊥ON说明OM＝ON＝√2/2倍的弦长，运用点到直线距离公式得弦长：
｜－4｜/√5*√2＝4√10/5
圆心到直线距离为：｜1＋4－4｜/√5＝√5/5
因此半径平方＝（√5/5）^2+(2√10/5)^2=9/5
m=5-9/5=16/5

(3)
M、N为中点为直线x+2y－4＝0与圆心与原点的交点。圆心与原点的直线为y=2x
联立得x=4/5,y=8/5
因此以MN为直径的圆的方程是：
（x-4/5)^2+(y-8/5)^2=8/5