Question

函数y=sinx+cosx+sinxcosx+1的最大值为

要有过程！

Answer 1

先说明两点：一是乘方运算用^表示，二是算术平方根用√表示。
因为sinx+cosx与sinxcosx有内在联系：
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx
由此启发，本题可设sinx+cosx=t(-√2≤t≤√2)，则sinxcosx=(t^2-1)/2，
∴y=t+(t^2-1)/2+1=1/2(t+1)^2
结合此二次函数的图像——抛物线弧，可知，当t=√2时，函数的最小值为3/2+√2.
(本题的主要思路是,抓住正余弦函数的和差式与乘积式的关系,采用换元的方式化二元为一元)

Answer 2

y=sinx+cosx+sinxcosx+1
=(sinx+cosx)+[(sinx+cosx)²-1]/2+1
=(1/2)(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)+1/2
=sin²(x+π/4)+√2sin(x+π/4)+1/2
=[sin(x+π/4)+√2/2]²
当 sin(x+π/4)=1时 有最大值为 (2+√2)²/4=(3+2√2)/2

Answer 3

提公因式得y=(1+sinx)(1+cosx).然后利用公式算数平均数大于等于几何平均数放大，得最大值。max=(3+2倍根号2)/2，且当x=45度时成立