Question

an=n(n+1)(2n+1),求其前n项和Sn

数列难题，请数学爱好者们帮忙！

Answer 1

∵a(n)＝n（n＋1）（2n＋1）＝（n^2＋n）（2n＋1）＝2n^3＋n^2＋2n^2＋n＝2n^3＋3n^2＋n。
∴依次令上式中的n＝1、2、3、······、n，得：
a(1)＝2×1^3＋3×1^2＋1，
a(2)＝2×2^3＋3×2^2＋2，
a(3)＝2×3^3＋3×3^2＋3，
······
a(n)＝2n^3＋3n^2＋n。
将上述n个式子相加，得：
S(n)＝2（1^3＋2^3＋3^3＋······＋n^3）＋3（1^2＋2^2＋3^2＋······＋n^2）
　　　＋（1＋2＋3＋······＋n）
　　＝2×［（1/4）n^2（n＋1）^2］＋3×［（1/6）n（n＋1）（2n＋1）］＋（1/2）n（n＋1）
　　＝（1/2）n（n＋1）［n（n＋1）＋（2n＋1）＋1］
　　＝（1/2）n（n＋1）［n（n＋1）＋2（n＋1）］
　　＝（1/2）n（n＋1）^2（n＋2）。