Question

椭圆X^2/4+Y^2/3=1,若椭圆的左右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线l:X=mY+1与椭圆交与M，N两点，则三角形F1MN

椭圆X^2/4+Y^2/3=1,若椭圆的左右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线l:X=mY+1与椭圆交与M，N两点，则三角形F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由
三角形F1MN的周长是定值，能不能换一种方式把半径表示出来？

Answer 1

a=2,b=√3，c=1,
焦点F1（-1，0），F2（1，0），
∵△F1MN=|F1M|+|MF2|+|F1N|+|NF2|=2a+2a=4a=8,
要使内切圆面积最大，则其半径应最大，设内切圆半径为r,周长p,
现证明公式如下：△ABC，边长a,b,c,设内心I，分别连结IA、IB、IC，三角形分成三个小三角形，三个面积和为（a+b+c）r/2,
因△F2MN周长是定值，p=8，面积为S，根据公式，r*p/2=S,
r=2S/p,故问题转变成三角形面积最大问题，S最大，则r也最大，
MN直线经过F2（1，0），方程为：y=k(x-1),k为斜率，
离心率e=c/a=1/2,
根据经过焦点弦长公式，|MN|=(2b^2/a)/[1-e^2*（cosθ）^2]
=（2*3/2）/[1-（1/4）*（cosθ）^2]
=12/[4-（cosθ）^2]
=12/[3+(sinθ)^2],
θ为焦点弦和X轴夹角，
F2至MN距离d=|F1F2|*sinθ=2 sinθ,
S△F1MN=|MN|*d/2
S=12/[3+(sinθ)^2]* （2 sinθ）/2
=12 sinθ/[3+(sinθ)^2]
dS/dθ={12*cosθ[3+(sinθ)^2]-24 (sinθ)^2cosθ}/[3+(sinθ)^2]^2
=12[3cosθ-(sinθ)^2cosθ]/ [3+(sinθ)^2]^2
令dS/dθ=0，
[3cosθ-(sinθ)^2cosθ]=0，
cosθ[3-( sinθ)^2]=0,
cosθ=0, θ=π/2，
∵当π/2<θ<2π/3时，
cosθ〈0，3-( sinθ)^2〉0，[3+(sinθ)^2]^2>0,
∴dS/dθ<0,
π/3<θ<π/2, dS/dθ>0,
∴θ=π/2是极大值点，
(sinθ)^2=3，sinθ=±√3，
而∵0〈=θ〈=π，∴sinθ>0,
∴sinθ=√3，
θ=π/3，θ=2π/3，
0<θ<π/3时，S’>0,
π/3<θ<π/2时，S’>0,故不是极值点，
θ=2π/3也不是极值点，因为在它左右附近S’<0,
∴S(max)=12*sin（π/2）/[3+sin^2（π/2)]
=3,
即虽然垂直弦|MN|最短，但三角形面积却最大，
此时直线方程为：x=1,
三角形周长=2a+2a=8,
8*r/2=3,
r=3/4,
内切圆面积最大值S1=πr^2=9π/16。

Answer 2

椭圆X^2/4+Y^2/3=1,若椭圆的左右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线l:X=mY+1与椭圆交与M，N两点，则三角形F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由
解析：∵椭圆X^2/4+Y^2/3=1,左右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线l:X=mY+1与椭圆交与M，N两点
∴F1(-1,0),F2(1,0)
将直线性L代入椭圆得(3m^2+4)y^2+6my-9=0
由韦达定理得y1+y2=-6m/(3m^2+4)，y1y2=-9/(3m^2+4)
|MN|=√(1+m^2)*|y1-y2|
|y1-y2|=√[36m^2+36(3m^2+4)]/ (3m^2+4)= 12√(m^2+1)/ (3m^2+4)
∴|MN|=12(1+m^2)/(3m^2+4)
F1到直线MN的距离：d=|-1-1|/√(m^2+1)=2/√(m^2+1)
∴S(⊿F1MN)=1/2*d*|MN|=1/√(m^2+1)* 12(1+m^2)/(3m^2+4)=12√(m^2+1)/(3m^2+4)
设f(m)= 12√(m^2+1)/(3m^2+4)
令f’(m)= 12(-3m^3-2m)/[√(m^2+1)(3m^2+4)^2]=0==>m=0
当m>0时，f’(m)<0；当m<0时，f’(m)>0；
∴函数f(m)在m=0处取极大值，即S(⊿F1MN)=3
直线L为x=1

Answer 3

iop