Question

定积分 x/(1+(1+x)^(1/2)) 范围为0到1

Answer 1

解：
我们先求∫x/(1+(1+x)^(1/2)) dx
令：t=√(x+1) --> x=t^2-1 --> dx=2t dt
-->∫x/(1+(1+x)^(1/2)) dx=∫ (t^2-1)/(t+1) *2t dt
=∫ 2t*(t-1) dt
=∫2*t^2 dt - ∫2t dt
=2/3 *t^3-t^2
再求：
定积分 x/(1+(1+x)^(1/2)) 范围为0到1={2/3 *1^3-1^2}-{2/3 *0^3-0^2}=-1/3

追问

最后代数值进去，t不用换回x吗？

追答

呵呵 对不起：我疏忽了
当然要换： t=√(x+1)
∫x/(1+(1+x)^(1/2)) dx=2/3 *t^3-t^2=2/3 *(x+1)^(3/2)-(x+1)
定积分 x/(1+(1+x)^(1/2)) 范围为0到1={2/3 *(1+1)^(3/2)-(1+1)}-{2/3 *(0+1)^(3/2)-(0+1)}
=(4√2-5)/3