Question

已知函数f（x）=x²lnx （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解

已知函数f（x）=x²lnx （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=x²·ln|x|
f'(x)=2xln|x|+x²·1/x
=2xln|x|+x
=x(2ln|x|+1)
当x>e^(-1/2)时,f'(x)>0;
当0<x<e^(-1/2)时，f'(x)<0;
当-e^(-1/2)x<0时，f'(x)>0;
当x<-e^(-1/2)时，f'(x)<0;
于是函数的单调增区间为(-e^(-1/2),0)和(e^(-1/2),+∞);
函数的单调减区间为(0,e^(-1/2))和(-∞,-e^(-1/2)).

(2)关于x的方程f(x)=kx-1有实数解也就是说直线y=kx-1与f(x)的图像有交点，也就是说，直线y=kx-1夹在过点(0,-1)的f(x)的两条切线之间。
设过点(0,-1)的f(x)的切线为y=mx-1,切点为(x0,y0)则
x0(2ln|x0|+1)=m
x0²·ln|x0|=mx0-1
解得x0=±1，m=±1。
于是当k≥1或k≤-1时，关于x的方程f(x)=kx-1有实数解.

追问

请仔细看题

追答

不加绝对值的话，考虑个lnx中的x>0，去掉x为负数的区间就行了。