Question

已知在三角形ABC中角ACB=90度CD垂直于AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G,EF垂直于BE交AB于点F。当AC=BC,

CE=EA,则有EF=EG 1当AC=2BC,且CE=EA,EF=1/2EG 2当AC=2BC,CE=2EA,探究EF与EG关系并证明结论 3当AC=mBC且CE=nEA则EF于EG的数量关系并证明结论 谢了

Answer 1

分析：当AC=mBC，CE=nEA时，最敏感的是∠CBE的变化。
设： ∠CBE=∠x 。
其中：∠ACF=∠B，∠BCD=∠A，∠CGE=∠x+∠A，∠A+∠B=90° 。
Sin∠A=BC/AB=1/√(m^2+1)，Cos∠A=m/√(m^2+1)。
Sin∠B=AC/AB=m/√(m^2+1)，Cos∠B=1/√(m^2+1)。
tg∠x=CE/BC=（CE/AC）*（AC/BC）
=[CE/(CE+EA）*（mBC/BC）
=mn/(n+1)
Sin∠x=mn/√[(mn)^2+(n+1)^2]
Cos∠x=(n+1)/√[(mn)^2+(n+1)^2]
在△AEF中:
Sin∠A=EF/EA
EF=(Sin∠A*CE)/n ----------------------------(1)
在△CEG中:
Sin∠B/EG=Sin(∠x+∠A)/CE
=（Sin∠x*Cos∠A+Cos∠x*Sin∠A）/CE
1/EG=（Sin∠x*Cos∠A+Cos∠x*Sin∠A）/(Sin∠B*CE) --------------(2)
(1)*(2)
EF/EG={[(Sin∠A*CE)/n]/(Sin∠B*CE)}*[（Sin∠x*Cos∠A+Cos∠x*Sin∠A）]
=(m^2*n+n+1)/{m*n*√[(mn)^2+(n+1)^2]*√(m^2+1)}
答：EF、EG的关系与m、n的函数值相关（见上式）。
当m=n=1时：
EF/EG=3/(√10)
EF≠EG
当m=2,n=1时：
EF/EG=6/[4(√10)]=3/[2*(√10)]
EF≠EG/2
当m=n=2时：
EF/EG=11/[20*(√5)]
当m与n为任意正有理数时：
EF/EG= f(m,n)
供参考。