Question

设a∈R,函数f(x)=ax^3-3x^2,若g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=

设a∈R,函数f(x)=ax^3-3x^2,若g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值，求a的取值范围？

Answer 1

解:
因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x

因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)

将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)

对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)

当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,a<6/5

Answer 2

f'(x)=3ax²-6x,
g(x)=ax³+（3a-3）x²-6x
g‘（x）=3ax²+(6a-6)x-6
a≤0时 x∈[0,2],g'(x)＜0
即a≤0时在x=0处取得最大值