Question

函数f(x)=-a/2x^2+(a-2)^2x+1在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=-a/2x^2+(a-2)^2x+1
f'(x)=-ax+(a-2)^2
因为函数f(x)=-a/2x^2+(a-2)^2x+1在(-1,1)上是增函数
所以f'(x)=-ax+(a-2)^2≥0在(-1,1)上恒成立
当a=0时，f(x)=4x+1,满足题意
当a<0时，x≥(a-2)^2/a在(-1,1)上恒成立,则(a-2)^2/a≤-1,a≤-1
当a>0时，x≤(a-2)^2/a在(-1,1)上恒成立,则(a-2)^2/a≥1,0<a≤1,或a≥4

Answer 2

a=0时，f(x)=4x+1为增函数，符合
a>0时，开口向下的抛物线，对称轴需在区间（-1，1）右边，即(a-2)^2/a>=1, 解得：a>=4 or 0<a<1
a<0时，开口向上的抛物线，对称轴需在区间（-1，1）左边，即(a-2)^2/a<=-1, 解得：a<0
综合得：a>=4 or a<1