Question

求1^2+3^2+5^2+...+99^2的值

Answer 1

根据公式1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6得到
1^2+2^2+...+99^2+100^2=338350
设1^2+3^2+...+99^2=a
2^2+4^2+...+100^2=b
两式相加得到a+b=338350 （1）
两式相减得到b-a=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+...+(100^2-99^2)
=1+2+3+4+...+99+100=100*101/2=5050 （2）
所以（1）-（2）得到2a=338350-5050=333300
两边除以2得到a=166650
即1^2+3^2+5^2+...+99^2=166650

Answer 2

证明过程如下:
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+...+(2n)^2=2n(2n+1)(4n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
连续偶数平方和：2^2+4^2+...+(2n)^2=4(1^2+2^2+...+n^2)=4n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3
连续奇数平方和：1^2+3^2+...(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2]
=n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(2n-1)/3=(1/3)n(4n^2-1)
=n(2n+1）（2n-1)/3
n=50得166650