Question

在三角形ABC 中，三边abc 成等比数列，则cos(A-C)+cosB+cos2B的值是多少。

Answer 1

cosB=-cos（A+C）=-(cosAcosC-sinAsinC)=-cosAcosC+sinAsinC
cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC
cos(A-C)+cosB=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC
又abc 成等比数列，b的平方=ac
所以sinB的平方=sinAsinC
cos(A-C)+cosB=2sinB的平方
cos2B=1-2sinB的平方
cos(A-C)+cosB+cos2B=2sinB的平方+1-2sinB的平方=1

Answer 2

解：由正弦定理，sinA×sinC=sin²B
∴原式=cosA×cosC+sinA×sinC+cosB+½（1﹣2sin²B）
=cosAcosC+sin²B+cosB+½﹣sin²B
=cosAcosC+cos（π﹣A﹣C）+½
=cosAcosC﹣cos（A+C）+½
=cosAcosC﹣cosAcosC+sinAsinC+½
=½+sin²B
因此，原式的值取决于B的值

Answer 3

因为abc成等比数列，则a:b:c=1:k:k^2
即c=bk=ak^2
cos(A-C)+cosB+cos2B
=cos(A-C)+cos(pi-（A+C）)+cos2B
=cos(A-C)-cos(A+C)+cos2B
=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC+cos2B
=2sinAsinC+1-2sinB^2
因为c=bk=ak^2
则b=c/k=ak
b^2=c/k*ak=ac
根据正弦定理和b^2=ac
得 sinB^2=sinAsinC
所以原式=2sinB^2+1-2sinB^2=1