Question

已知向量A=(cosa,sina) ,向量B=(cosb,sinb)

求证：（A+B）⊥(A-B)
若-π/4＜α＜π/4，β =π/4，且A×B=3/5,求sinα的值

Answer 1

1
(A+B)*(A-B)
=(cosa+cosb)(cosa-cosb)+(sina+sinb)(sina-sinb)
=1-1=0
(A+B)垂直（A-B)

2
A×B=|A||B|sin<A,B>=3/5
|A|=|B|=1
sin<A,B>=3/5
cos<A,B>=4/5 或 cos<A,B>=-4/5
A*B=cosacosb+sinasinb=cos(a-b)=|A||B|cos<A,B>
cos(a-b)=4/5
-π/2<a-b<0
sin(a-b)=-3/5
sina=sin(b+a-b)=sinbcos(a-b)+cosbsin(a-b)
sina=(√2/2)*(4/5-3/5)=√2/10

Answer 2

A+B= (cosa + cosb , sina + sinb ) A-B = (cosa - cosb , sina - sinb ) 则( A+B）* (A- B) = cos^2a+sin^2a-cos^2b+sin^2b = 1-1 =0 则(A+B) 垂直(A-B)
因为 A *B = cosa * cosb + sina * sinb = cos(a-b) = 3/5 又因为 b = 45° 所以 cosa + sina =3/5 *2根号2 两边平方 推出 1+ 2sinacosa = 48/25 推出 sin2a = 24/25 所以 -sin2a = -24/25 两边加个1 推出( cosa - sina)^2 = 1/25 开方推出 cosa - sina = 1/5 (因为角a 的范围告诉了 而且在这个范围内 有cos 和sin 图像知 cosa - sina >0 ) 联立两个 式子 cosa + sina = 3/5*2根号2
cosa - sina = 1/5 下面自己可以解了 。。

Answer 3

解：（1）分析：要证明垂直，只要求出其数量积为零
向量（A+B）=（cosa+cosb，sina+sinb)
向量(A-B)=（cosa-cosb，sina-sinb）
（A+B）*(A-B)=（cosa+cosb）*（cosa-cosb）+ （sina+sinb）（sina-sinb）
=cosa^2-cosb^2+sina^2-sinb^2
=cosa^2+sina^2-(cosb^2+sinb^2)
=1-1
=0
所以（A+B）⊥(A-B)

第二问不会做

Answer 4

（A+B）=(cosa+cosb,sina+sinb)
(A-B) =( cosa-cosb,sina-sinb)
有：（A+B）*(A-B)=cos平方a-cos平方b+sin平方a-sin平方b=0
所以（A+B）⊥(A-B)

A×B=3/5
有：cosacosb+sinasinb=3/5
cosacosb=3/5-sinasinb
两边平方
cos平方acos平方b=9/25+sin平方asin平方b-6(sinasinb)/5
(cos平方a)/2=9/25+(sin平方a)/2-6根号2*sina/5

cos平方a换成1-sin平方a,求解sina

Answer 5

(A+B).(A-B)
=|A|^2 -|B|^2
=1-1
=0
=>（A+B）⊥(A-B)
A.B= 3/5
cos(α-β) =3/5
cos(α-π/4) =3/5
(√2/2)(cosα+sinα) = 3/5
(cosα)^2 = (3√2/5-sinα)^2
1-(sinα)^2 = (18/25) - (6√2/5)sinα + (sinα)^2
2(sinα)^2 - (6√2/5)sinα - 7/25=0
50(sinα)^2 - 30√2sinα - 7=0
sinα = (30√2-√3200) /100 = (3√2 -4√2) /10 = -√2 /10