Question

设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3=S6,a2+2是a1，a13的等比中项

求：（1）数列｛an｝的通项公式；（2）是否存在m，k∈N*，使am+a（m+4）=a（k+2）?说明理由；（3）若数列｛bn｝满足b1=-1，b（n+1）-bn=an，求数列｛bn｝的通项公式。（解答出后还有额外奖励分数）

Answer 1

设等差数列首项a1,公差d
因为{an}是单调递增的等差数列，所以d>0
s3=3a1+3d
s6=6a1+15d
4s3=s6
12a1+12d=6a1+15d
a1=d/2

a2+2=a1+d+2=3d/2+2
a13=a1+12d=25d/2
(3d/2+2)^2=25d^2/4
解得d=2
a1=d/2=1
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

2、
am+a(m+4)=2m-1+2(m+4)-1=4m+6为偶数
a(k+2)=2(k+2)-1=2k-3 为奇数
所以不存在

3、bn-b(n-1)=2(n-1)-1
b(n-1)-b(n-2)=2(n-2)-1
……
b2-b1=2*1-1
相加
bn-b1=2[1+2+……+(n-1)]-n*1
=n(n-1)-n
=n²-2n
所以bn=n²-2n-1