Question

平面上有两点A（-1，0）B（1,0）,点P在圆

平面上有两点A(-1,0),B(1,0),点P在圆周(x-3)²+(y-4)²=4上
求使AP²+BP²取最小值时点P的坐标
详细过程

Answer 1

设p坐标：(3+2cosα,4+2sinα)
(ap)^2+(bp)^2=(4+2cosα)^2+2(4+2sinα)^2+(2+2cosα)^2=60+24cosα+32sinα
=60+8/5×(3/5cosa+4/5sina)=60+8/5sin(α+β),其中β＝arctan3/4
当sin(α+β)=-1时取到最小值，即sina=-4/5,cos=-3/5
所以p坐标：(9/5,12/5)
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设P点坐标(x,y)，P在圆周上，所以P满足(x-3)²+(y-4)²=4
PA²=(x+1)²+y² PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
把圆的方程展开x²-6x+9+y²-8y+16=4→ x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(9/5,12/5)

追问

β＝arctan3/4
是什么来的 这个过程还是不懂

Answer 2

在圆上假设P点坐标为：(x,y)
∵P在圆周上，
∴(x-3)²+(y-4)²=4
又
PA²=(x+1)²+y² PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
即x²-6x+9+y²-8y+16=4→ x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy
也即3x+4y≥4√3xy
∴当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(9/5,12/5)

Answer 3

为什么
且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(9/5,12/5)