Question

已知函数f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，，g（x）=-4/x-alnx,(a∈R)

已知函数f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，g（x）=-4/x-alnx(a∈R）．
（1）a＜0时，求f（x）的极小值；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．
第二题怎么做？

Answer 1

x2+（2a-1）x-alnx）=-4/x-alnx
x^2+(2a-1)x=-4/x
x^3+(2a-1)x^2+4=0
在x∈[1，3]有两个不的实根。
设y=x^3+(2a-1)x^2+4,在x∈[1，3]，它与x轴有两个不同的交点。所以其必须在x∈[1，3]取到极值
y'=3x^2+(4a-2)x=0
x=0或x=(2-4a)/3
x=0不在[1，3]内，不考虑。
所以：(2-4a)/3∈[1，3]
2-4a∈[3，9]
-4a∈[1，7]
a∈[-7/4，-1/4]
同时，两个交点还要在[1，3]内：
所y(1)*y(3)>=0
[1^3+(2a-1)1^2+4][3^3+(2a-1)3^2+4]>=0
(1+2a-1+4)(27+18a-9+4)>=0
(2a+4)(18a+22)>=0
a>=-11/9，或a<=-2
联立a∈[-7/4，-1/4]
a∈[-11/9，-1/4]

追问

y(1)*y(3)>=0
可是如果它在[1,3]内的极值点大于0或小于0
那么不是连一个交点也没有，

追答

y((2-4a)/3)=(8/27)(1-2a)^3-4/9*(1-2a)^3+4
=-4/27(1-2a)^3+4=4(1-(1/3(1-2a))^3)>0时 y(3)=0 y(1)>=0
你自已算吧.这样做没错.

追问

可是你还是不能确定x在[1,3] 时 x=(2-4a)/3时的极值大于0或小于0啊
假如y(3)>0 y(1)>0 f（(2-4a)/3)极小>0则f(x)在[1,3] 时 与x轴无焦点
y(3)<0 y(1)<0f（(2-4a)/3)极大<0，则(x)在[1,3] 时 与x轴无焦点

追答

y((2-4a)/3)=(8/27)(1-2a)^3-4/9*(1-2a)^3+4
=-4/27(1-2a)^3+4=4(1-(1/3(1-2a))^3)>0时
即:1/3(1-2a)-2
a>-1时, y(3)=18a+22=0 y(1)>=0
得a=-11/9 且 a>=-2
得: -11/9<= a<-1

Answer 2

解：（1）因为f′（x）=2x+（2a-1）-ax=(2x-1)(x+a)x．
当a＜-12时，在（0，12）以及（-a，+∞）上f′（x）＞0，
在（12，-a）上，f′（x）＜0
所以：f（x）在（0，12）上递增；在（12，-a）上递减，在（-a，+∞）上递增，
所以f（x）极小值=f（-a）=-a2+a-aln（-a）．
当a＞-12时，同理可得f（x）在（0，-a）上递），在（-a，12）上递减，在（12，+∞）递增，
所以：f（x）极小值=f（12）=a-14-aln2．
当a=-12时，f′（x）≥0恒成立，此时无极小值．
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，
即为f（x）=g（x）在x∈[1，3]上有两个不同的根⇒x²+(2a-1)x+4x=0在x∈[1，3]上有两个不同的根．
令F（x）=x2+（2a-1）x+4x，要使函数在x∈[1，3]上有两个不同的根，
须满足{F(1)≥0F(2)＜0F(3)≥0⇒{1+(2a-1)+4≥04+2(2a-1)+2＜09+3(2a-1)≥0⇒-119＜a＜-1．
故a的取值范围是：-119＜a＜-1．

追问

为什么F(2)<0，X=2时又不是极小值

追答

不知道，好像是有点问题，看菁优网上的