Question

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn， 且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）． （Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，
且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．
并比较2f'(1)与23n^2-13n的大小
加油哦！第二问比较重要！

Answer 1

（1）根据题意：
S(n+1)=2S(n)+n+5
S(n)=2S(n-1)+(n-1)+5
两式相减，得 a(n+1)=2a(n)+1
可见，a(n+1)+1=2[a(n)+1] 成立，
所以，{a(n)+1} 是以a(1)+1=6 为首项、2为公比的等比数列；
（2）根据（1）可求得 a(n)=6×[2^[(n-1)]-1
f(x)=a(1)x+a(2)x²+a(3)x³+…+a(n)(x^n)
则
f'(1)=a(1)+2a(2)+3a(3)+…+na(n)
=1×5+2×11+3×23+…+n{6×[2^[(n-1)]-1}
=1×6-1+2×12-2+3×24-3+…+n×{6×2^(n-1)}-n
=6{1+2×2+3×2²+…+n×[2^(n-1)]}-(1+2+3+…+n)
设 M=1+2×2+3×2²+…+n×[2^(n-1)]
则 2M=1×2+2×2²+3׳+…+n×(2^n)
两式相减得
-M=1+2+2²+2³+…+[2^(n-1)]-n×(2^n)
=(2^n)-1-n×(2^n)
故 M=(n-1)×(2^n)+1
所以
f'(1)=6M-(1+2+3+…+n)
=6(n-1)×(2^n)+6-(1/2)n(n+1)
显然，
2f'(1)=12(n-1)×(2^n)+12-n(n+1)
……
比较就略去了，
应该会是分几种情况的