Question

设函数f(x)=xe^kx(k≠0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程

(2)求函数f(x)的单调区间。(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围

Answer 1

1.f'（x）=e^kx+kxe^kx=e^kx（1+kx）
f'（0）=1 所以切线的k=1
又因为f（0）=0 所以切线过（0,0）点
即切线方程是y=x
2.∵f'（x）=e^kx（1+kx） 其中e^kx必定大于零 所以只要看1+kx的取值范围了
①当k＞0时 f（x）在（-∞，-1/k）上单调减 （-1/k，﹢∞）上单调增
②当k<0时 f（x）在（-∞，-1/k）上单调增 （-1/k，﹢∞）上单调减
3.2中求到的信息可利用到第三题
①当k>0时，-1/k≤-1 即 0<k≤1
②当k＜0时 -1/k≥1 即 -1≤k<0
综上所述 -1≤k≤1 且k≠0

Answer 2

(1)
f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)
f'(0)=1;f(0)=0;
y-f(0)=f'(0)(x-0)
y=x
(2)
f'(x)=e^(kx)(kx+1)
i当k>0时
f'(x)>0即x>-1/k
f'(x)=0即x=-1/k
f'(x)<0即x<-1/k
ii当k<0时
f'(x)>0即x<-1/k
f'(x)=0即x=-1/k
f'(x)<0即x>-1/k
综上所述
(3)
当k>0时
-1>=-1/k
即0<k<=1
当k<0时
1<=-1/k
即-1<=k<0
综上-1<=k<0或0<k<=1

Answer 3

f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)=(1+kx)e^(kx)。
(1)f(0)=0，f'(0)=1，所求切线方程为：y=x。
(2)若k<0，则x<-1/k，f'(x)>0，f(x)递增；x>-1/k，f'(x)<0，f(x)递减。
此时，f(x)的单调递增区间是(-无穷,-1/k)，单调递减区间是(-1/k,+无穷)。
若k>0，则x<-1/k，f'(x)<0，f(x)递减；x>-1/k，f'(x)>0，f(x)递增。
此时，f(x)的单调递减区间是(-无穷,-1/k)，单调递增区间是(-1/k,+无穷)。
(3)若k<0，f(x)的增区间是(-无穷,-1/k)，所以-1/k>=1，则-1<=k<0。
若k>0，f(x)的增区间是(-1/k,无穷)，所以-1/k<=-1，则0<k<=1。
所以，k的取值范围是[-1,0)U(0,1]。