Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发

沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动。点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=
72；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=
163，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=
72s或t=
163s时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer 2

当pd=bp时，刚好pb=pd，又设pq交bd于o，设bo为x，oq为3/4x,od为20-x，po为（20-x）/3,则（20-x）^2+(（20-x）/3)^2=(2t)^2,,,(x)^2+(3/4x)^2=(16-t)^2
两个方程，两个未知数就可以求了。

Answer 3

设BD与PQ交与点O
在Rt△BCD中BD=20
∴CosCBD=4/5
∴在Rt△BOQ中
OB=BQ·COSCBD=4/5(16-t)
∴OD=BD-OB=20-4/5jike(16-t)
∵△DOP∽△BOQ
所以OD/OB=PD/BQ
将四条线段代入即可