Question

高中三角函数题求解~数学高手进。。

cos（α+β）sin（α-Β）+1/2sinαcosα=0,3sin^2α+2sin^2β=1,α,β∈(0,Π/2),求sin(α+β)的值
请列出详细的解题步骤，谢谢~

Answer 1

cos（α+β）sin（α-Β）+1/2sinαcosα=1/2*[sin2α-sin2β]+1/4*sin2α=0
则3sin2α-2sin2β=0

3sin^2α+2sin^2β=1……………………………………④
3*(1-cos2α)/2+2*(1-cos2β)/2=1
3cos2α+2cos2β=3………………………………………①
α,β∈(0,Π/2)，2α,2β∈(0,Π)
sin2α=√[1-(cos2α)^2]………………………………②
sin2β=√[1-(cos2β)^2]………………………………③

解①②③④得：
cos2α=7/9
cos2β=1/3
sin2α=4√2/9
sin2β=2√2/3

cos2α+cos2β=2cos(α+β)cos(α-β)=10/9…………⑤
sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=10√2/9…………⑥

⑥/⑤得，
tan(α+β)=√2
α+β∈(0,Π)
所以可得
sin(α+β)=√6/3

解毕

Answer 2

【积化和差公式：2cos（α+β）sin（α-β）= sin[（α+β）+（α-β）]-sin[（α+β）-（α-β）]
= sin（2α）-sin（2β）】

cos（α+β）sin（α-β）+1/2sinαcosα=0,
则4 cos（α+β）sin（α-β）+2sinαcosα=0,
即4 cos（α+β）sin（α-β）+sin2α=0,
所以2[sin（2α）-sin（2β）] +sin2α=0,
即3 sin（2α）-2sin（2β）=0，
sin（2β）=3*sin(2α)/2

cos(α+2β)
=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα(1-2(sinβ)^2)-sinαsin2β
=cosα(3(sinα)^2)-sinα(3*sin(2α)/2)
=3sin(2α)sinα/2-3sin(2α)*sinα/2
=0

又α,β为锐角，所以0<α+2β<270度，
在(0,270)度之间，只有90度的余弦值为0，
所以α+2β=90度
sin(α+2β)=1.

sin(α+β)= sin[(α+2β)- β]= sin[90°- β]=cosβ.

Answer 3

把两个角的和差用AB表示 就可以了 我算过 你自己试一下 3sin^2α+2sin^2β=1……………………………………④
sin2α=4√2/9
sin2β=2√2/3
好象不对