Question

已知如图所示的Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点，Q是AC边上的动点

           已知，如图所示的Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是AC边上的动点（与点B、C不重合）.    （1）当PQ∥AC，且Q为BC中点时，求线段CP的长；    （2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）
AC=5，BC=12，∠ACB=90°
AB =13
中位线定理。
P也是AB中点
所以CP=AB/2=13

（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ为直径作半圆D，
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则
DM⊥AB，且AC=AM=5，
∴MB=AB-AM=13-5=8；
设CD=x，则DM=x，DB=12-x；
在Rt△DMB中，DB2=DM2+MB2，
即（12-x）2=x²+8²，
解之得x=10/3，
∴CQ=2x=20/3；
即当CQ=20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．
②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形