Question

已知实数x y满足X^2+y^2=2x 求x^y^2取值范围

Answer 1

已知实数x y满足X²+y²=2x 求x²y²取值范围
解：
x²+y²=2x
（x-1)²+y²=1
令x=sina+1，y=cosa
xy=(sina+1)cosa=sinacosa+cosa
(xy)'=(cosa)²-(sina)²-sina
=-2(sina)²-sina+1
=-(sina+1)(2sina-1)
令(xy)'=0
sina=-1或sina=1/2
-1≤sina≤1/2时，(xy)'≥0，函数单调递增；
sina=-1时，有(xy)min=0 sina=1/2时，有(xy)max=3√3/4
1/2≤sina≤1时，（xy)'≤0，函数单调递减。
sina=1/2时，有(xy)max=3√3/4 sina=1时，有(xy)min=0
因此
0≤x²y²≤（3√3/4)²
0≤x²y8≤27/16
x²y²的取值范围为[0，27/16]

Answer 2

已知实数x y满足X²+y²=2x 求取值范围
y^2＝X^2－2x
代入到x²y²中2x^3-x^4
令f(x)=2x^3-x^4
则f'(x)=6x^2-4x^3
令f'(x)=0可以求出单调增减区间。
又y^2＝X^2－2x>=0,
所以 x∈·[0,2]
当从数轴标根法上可以看到 在[0,2]区间，当x=3/2时有极大值。
x=0,or x=2时有极小值
代入可知 x²y²的取值范围为[0，27/16]

望采纳

Answer 3

解：
x²+y²=2x
（x-1)²+y²=1
令x=sina+1，y=cosa
xy=(sina+1)cosa=sinacosa+cosa
(xy)'=(cosa)²-(sina)²-sina
=-2(sina)²-sina+1
=-(sina+1)(2sina-1)
令(xy)'=0
sina=-1或sina=1/2
-1≤sina≤1/2时，(xy)'≥0，函数单调递增；
sina=-1时，有(xy)min=0 sina=1/2时，有(xy)max=3√3/4
1/2≤sina≤1时，（xy)'≤0，函数单调递减。
sina=1/2时，有(xy)max=3√3/4 sina=1时，有(xy)min=0
因此
0≤x²y²≤（3√3/4)²
0≤x²y8≤27/16
x²y²的取值范围为[0，27/16]