Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图像与X轴交于A、B两点，与Y轴交于P，顶点为C（1，-2）

（1）求此函数的关系式；
（2）作C点关于Y轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求E坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出F坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由

麻烦各位了。。主要是第2和3

Answer 1

解： （1）抛物线的顶点坐标公式可知： － b =1,a=1,所以得 b=－2; 2a

4

4ac－b2 =－2,a=1,b=－2,求得 c=－1； 4a 所以，此抛物线的解析式为 y=x －2x－1 ， 或者：因为 y=x2+bx+c 的顶点坐标为（1，－2） 2 2 所以 y=(x－1) －2,即 y= x －2x－1.
(2)由于点 A、点 B 是关于对称轴对称的两个点，点 C 是对 P 称轴上的点，所以，AC=BC。 又，点 D 是点 C 关于 x 轴的对称点， C (F) 所以，AD=BD=AC=BC， 因此，四边形 ACBD 是菱形，直线 PE 把四边形 ACBD 分 成两个面积相等的四边形，所以 PE 经过四边形 ACBD 的对称中心即（1，0） ， 所以设PE 所在的直线解析式为：y=kx－1 将(1，0）代入直线 PE 的解析式解得：得 k=1 所以， PE所在直线的解析式为：y=x－1 设 E（x,x－1）,代入 y= x2－2x－1，得 x－1= x2－2x－1, 解得：x1=0,x2=3, 根据题意得，E（3，2）
（3）假设存在这样的点 F，可设 F（x，x2－2x－1） ，过点 F 作 FG⊥y 轴，垂足为点 G， 在 Rt △POM 和 Rt △FGP 中， 因为∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°， 所以，∠OMP=∠FPG， 又，∠POM=∠PGF， 所以，△POM ∽△FGP，OM GP 所以， = . OP GF 又，OM=1，OP=1，所以，GP=GF， 即－1－（x2－2x－1）=x, 解得 x1=0,x2=1,根据题意得，F（1，－2） 。 以上各步均可逆，故点 F（1，－2）即为所求。

追问

哇塞，神速啊。
请问，经过对称点的直线一定平分这个图行吗

追答

呃，其实这是文库里的一套试题的某道大题，用手机回答的，要编辑那么多式子简直不敢想象啊....
追问(手机看不到)是今天开电脑才看到的，所以现在给你解答：
"经过对称点的直线一定平分该图形"这一句，是对的，这是对称点的性质。

Answer 2

解：（1）将A（-3，0），D（-2，-3）代入y=x2+bx+c，得：
9-3b+c=0 4-2b+c=-3 ，
解得： b=2 c=-3 ；
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．
（2）由：y=x2+2x-3得：
对称轴为：x=-2 2×1 =-1，
令y=0，则：x2+2x-3=0，
∴x1=-3，x2=1，
∴点B坐标为（1，0），
而点A与点B关于y轴对称，
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．
过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF=3，BF=1-（-2）=3，
在Rt△BDF中，BD= 32+32 =3 2 ，
∵PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD=BD=3 2 ，
即PA+PD的最小值为3 2 ．

（3）存在符合条件的点E，
①在y=x2+2x-3中，令x=0，则有：y=-3，故点C坐标为（0，-3），
∴CD∥x轴，
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，
此时：点C与点G重合，E1（-1，0），E2（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，
∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD=3 2 ，
∴G3N=E3N=3；
将y=3代入y=x2+2x-3
得：x=-1± 7 ，
∴E3的坐标为：(-1+ 7 -3，0)，
即(-4+ 7 ，0)，
同理可得：E4(-4- 7 ，0)，
综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：
E1（-1，0），E2（3，0），
E3(-4+ 7 ，0)，E4(-4- 7 ，0)