Question

已知向量a=（2cos（-θ），2sin（-θ）），向量b=（cos（90°-θ），sin（90°-θ））

若存在不等于0的实数k和t，使向量x=向量a+（t²-3）向量b，向量y=-k向量a+t向量b满足向量a⊥向量b。试求此时（k+t²）/t的最小值

Answer 1

首先指出：你给的条件“向量a⊥向量b”应该是“向量x⊥向量y”，否则缺条件，而且“向量a⊥向量b”由它们的坐标直接可以推出。
解：由已知化简得，向量a=(2cosθ，-2sinθ)，向量b=(sinθ，cosθ)，
∴向量x=(2cosθ+ (t²-3)sinθ，(t²-3)cosθ-2sinθ)，向量y=(tsinθ-2kcosθ，tcosθ+2ksinθ)，
由向量x⊥向量y，得x•y=0，
即[2cosθ+ (t²-3)sinθ](tsinθ-2kcosθ)+[(t²-3)cosθ-2sinθ)](tcosθ+2ksinθ)=0，
化简得t(t²-3)-4k=0，即k=t(t²-3)/4，
故(k+t²)/t =k/t+t=(t²-3)/4+t=[(t+2)²-7]/4，
所以，当t=-2，k=-1/2时，(k+t²)/t取最小值-7/4。