Question

已知函数f(x)在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f(ax)=af(x)

1)证明f(x)=kx(x>=0)&f(x)=hx(x<0），其中k和h均为常数；
（2）当（1）中k>0时，设g（x)=[1/f(x)]+f(x) (x>0),讨论g(x)在（0，∞）内的单调性并求极值。
答案：
(1)设f(1)=k -f(-1)=h
f(0)=f(2*0)=2f(0) f(0)=0
当x>0时，f(x)=f(x*1)=xf(1)=kx
当x=0时，f(0)=k*0=0
当x<0时，f(x)=f[(-x)*(-1)]=-xf(-1)=hx
结论成立。
(2)k=f(1)>0 g(x)=1/f(x)+f(x)=1/(kx)+kx g'(x)=k-k/x^2=(kx^2-k)/x^2=0 x=1
当0<x<1时，g'(x)<0，当x>1时，g'(x)>0
所以，g(x)在区间(0,1)递减，在区间(0,+∞)递增。极小值g(1)=1/k+k
其中，g'(x)我算下来是k-1/(kx^2),答案上怎么能成了k-k/x^2呢？

Answer 1

令x=0代入即可得到答案．
分别令a=x和a=-x代入整理即可得到答案．
先表示出函数g（x），然后对其进行求导，导数大于0时单调递增，导数小于0时单调递减，导数等于0时函数取到极值点．

追问

我问的是g'(x)算的对吗？求导的结果怎么会是答案上那种？

Answer 2

2006年安徽卷答案错的

Answer 3

你的g'(x)怎么会“=k-k/x^2”呢？应该=k-1/k(x^2)呀！

Answer 4

你确定答案没错？

Answer 5

ada