Question

半径为2的球面上有A,B,C,D四个点，且AB,AC,AD两两垂直，求三角形ABC,ABD,ACD面积之和的最值

Answer 1

因AB、AC、AD两两垂直，则：AB、AC、AD正好是球内接长方体的同一个顶点上的三条棱，设：AB=x，AC=y，AD=z，则：
x²＋y²＋z²=(2R)²=16 ----------------------------【长方体的体对角线恰为球的直径】
本题所求的就是S=(1/2)(xy＋yz＋zx)的最值问题。
因：
x²＋y²≥2xy
y²＋z²≥2yz
z²＋x²≥2xz
上述三个式子相加，得：
2(x²＋y²＋z²)≥2(xy＋yz＋xz)
则：S=(1/2)(xy＋yz＋zx)≤(1/2)(x²＋y²＋z²)=8
从而，三角形ABC、ABD、ACD的面积之和的最大值是8

Answer 2

这类题用特值法。此球外接于一个正方体，且AB、AC、AD为这个正方体的三条边，设AB=x,由正方体可算出此球的直径为√3*x,所以x=√3/4,所求=3*（1/2）*（√3/4）^2=9/32

追问

为什么是正方体的三边？长方体不行么？

追答

因为你要求的是最值，只有正方体才能求出最值，而长方体不能。这题应该是选择题吧？做选择题经常要用到特值法，而特值法往往要用到正方体，你只有记住这点就行了。
抱歉啊，上面写错了，应该是x=(4/3)*√3,所求=3*（1/2）*（4/3√3）^2=8 希望对你有帮助！

Answer 3

首先AB^2+BC^2+AC^2=64
然后基本不等式
这只算个提示 自己想想吧!