Question

已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有

1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer 1

l1:y=a(x-1) (a<0)
l2:y=-(x+3)/a
a(0-1)=-(0+3)/a
a^2=3
a=-√3
(1) C(0，√3)
y=-k(x+1)^2+c
0=c-4k
√3=c-k
k=√3/3
c=4√3/3
y=-√3/3 (x+1)^2+4√3/3
y=-√3/3 x^2-2√3/3 x+√3
(2)l1;y=-√3 (x-1), K(-1,2√3)
y=-√3/3 (x+1)^2+4√3/3, D(-1,4√3/3)
l2:Y=-(x+3)/(-√3) E(-1,2√3/3)
DK=2√3-4√3/3=2√3/3
DE=4√3/3-2√3/3=2√3/3
EF=2√3/3
DK=DE=EF
(3)1.C关于X=-1的对称点M(-2，√3)，KM=KC
2.与原l2平行，过KC中点(-1/2，√3/2)的直线与抛物线的交点(有两个)，KM=MC
3.在抛物线上，到C的距离等于KC的点(有两个)，KC=MC

追问

第3问 看不懂 可不可以再说细致一点

追答

等腰可以有三种情况：1.KC=KM；2.KM=MC；3.KC=MC
1.KC=KM，以K为圆心，KC为半径作圆，与抛物线的交点即为所求
2.KM=MC，则M在KC的中垂线上，即与l2平行且过KC中点，KC中垂线与抛物线可能有二交点，也可能有一交点(与抛物线相切时)，也可能无交点(与抛物线不相交时)
3.KC=MC，以C为圆心，KC为半径作圆，与抛物线的交点即为所求，交点在C的左右各有一个。

Answer 2

第三问错了一个。应该是（-1，4/3倍根号3）就是点D。
D为KE中点，∴DK=DC 。