Question

设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)-2x在区间【2,3】上的值域为【-2,6】。

则函数g(x)在【-12,12】上的值域为

Answer 1

y=f(x)的周期是1,所以f(x)=f(x+1) 在R上是成立的
g(x+1)=f(x+1)-2(x+1)
g(x)=f(x)-2x
所以：g(x+1)-g(x)=f(x+1)-f(x)+2x-2（x+1）=1
显然g（x）也是一个定义在R上的 周期为1 的函数
g（x）在【2,3】上的值域为【-2,6】，
试想g（x）在【1.2】上的值域也为【-2,6】，
那么我们可以把这个区间做无限次的推广，
发现函数g(x)在【-12,12】上的值域为任然为【-2,6】。

追问

答案不对，老师给我的是【-20,34】

追答

错了，我发现大大的错了，g(x+1)-g(x)=f(x+1)-f(x)+2x-2（x+1）=1是不对的，由此说g（x）是周期函数也是不对的。
更正一下 g(x+1)-g(x)=f(x+1)-f(x)+2x-2（x+1）= -2 所以x每变化1，g（x）的函数值就变化2
g（x）是个递减函数，要考察其在【-12,12】上的值域，可以分成24个区间长度为1的区间，就是【-12,-11】【-11,-10】【-10,-9】.。【2,3】。。【11,12】 ， g（x）在【2,3】上的值域为【-2,6】，当我们把区间向【11,12】进行推广的时候，函数的最大值和最小值都会跟着减小，减小的数值是2*（12-3），所以g（x）在【11,12】上的值域就是【-18,-10】，把区间从【2,3】向【-12，-11】推广时，函数的最大值和最小值都在增大，增大的数是2（2+12）=28,其值域就变了【26，34】 所以在整个区间【-12,12】上g（x）的值域为【-18,34】

2013年6月15日4:51分 又看了一遍，发现问题了：原来口算失误--g（x）在【11，12】上的值域是【-20，-10】才对，后边的就没错了，综合起来就能得到【-20,34】
感想：
1， 粗心大意是做不好题目的,
2， 以上过程说g（x）是递减函数也是不科学的。在【2,3】上我们就发现其值域【-2，6】并不能

推出g（2）=-2 g（3）=6 ，显然g（x）并不是严格单调减。
3 ，我们只能说在R上，不管x是不是整数，x每变化1，g（x）就变化2

Answer 2

f(x)=f(x+1)
g(x)=f(x)-2x f(x)=g(x)+2x f(x+1)=g(x+1)+2(x+1)
g(x+1)+2(x+1)=g(x)+2x g(x+1)-g(x)=-2 所以在周期为1的区间上g(x)是递减函数 d=-2
在区间【2,3】设g(a)=f(a)-2a=-2 g(b)=f(b)-2b=6
在区间【11,12】g(x)最小 g(9+a)=f(a+9)-2(a+9)=f(a)-2a-18=-20
在区间【-12,-11】g(x)最大 g(b-14)=f(b-14)-2(b-14)=f(b)-2b+28=34
则函数g(x)在【-12,12】上的值域为【-20,34】