Question

已知函数f(x)=x^2+ax-lnx(a∈R)，令g(x)=f(x)-x^2,是否存在a当x∈（0，e]时，最小值为3，求a值

Answer 1

g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x, x=1/a
g''(1/a)=a^2>0 (a不等于0，a=0时，g(x)=-lnx, 不会有最小值3)
所以 x=1/a为极小值点
如果最小值存在，min{g(x)}=min{g(1/a), g(e)} 且 1/a∈（0，e]
1）若min{g(x)}=g(e)时，g(e)=ae-1=3, 所以a=4/e, 此时，g(1/a)=ln4<3, 与最小值是3矛盾;
2) min{g(x)}=g(1/a)时，g(1/a)=1+lna=3, 所以a=e^2，此时，g(e)=e^3-1>3.
综上，如果最小值存在，则a=e^2