Question

设f（x）=ax^3+bx^2+cx的极小值为-8，其导数y=f'(x)的图像经过点(-2,0) (2/3,0) ，求解析式

f（x）极小值为-8，是不是可以把（-8,0）带入？极小值点不是导数为零的点吗？

Answer 1

f(x)=ax³+bx²+cx
f'(x)=3ax²+2bx+c

如果 x=-2 是 f(x) 的极小值点，则
f(-2)=-8a+4b-2c=-8
f'(-2)=12a-4b+c=0
f'(2/3)=4a/3+4b/3+c=0
解得a=-1，b=-2，c=4
函数解析式是 f(x)=-x³-2x²+4x

如果 x=2/3 是 f(x) 的极小值点，则
f(2/3)=8a/27+4b/9+2c/3=-8
f'(-2)=12a-4b+c=0
f'(2/3)=4a/3+4b/3+c=0
解得a=5.4，b=10.8，c=-21.6
函数解析式是 f(x)=5.4x³+10.8x²-21.6x

***f(x) 极小值为 -8 是指函数值 f(x)=-8，至于是 f(-2)=-8 或 f(2/3)=-8，要分两种情况讨论，所以有两个答案。

Answer 2

解：f'(x)=3ax²+2bx+c，由条件知x=-2和x=2/3是f'(x)=0的两个根，直接代入(不是带入哦~)，或用韦达定理可得 b=2a，c=-4a，
于是f(x)=a(x^3+2x^2-4x)，f'(x)=a(3x²+4x-4)=a(x+2)(x-2/3)，
易知a≠0，若a>0，则f(x)min=f(2/3)=-40a/27=-8，得a=27/5，f(x)=(27/5)(x³+2x²-4x)；
若a<0，则f(x)min=f(-2)=8a=-8，得a=-1，f(x)=-(x³+2x²-4x)。
注：极小值点不是导数为零的点，但不一定是原函数为零的点。