Question

初三数学难题

15．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝2．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c－t＝0(t为实数)，在－2＜x＜ 2分之7的范围内有实数解，则t的取值范围是_____．
要过程谢谢

Answer 1

-1 ≤ t < 8

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过程：
对称轴为x=1，则算出b=-2（-b/2=1，所以b=-2）
根据韦达定理有，x1+x2=2，x1x2=c（）两根之和为-b/a，两个之积为c/a
因为AB=2，所以x1-x2=2（x1和x2分别表示AB的横坐标，不妨设右端的为x1，在x轴上的距离就是右端横坐标减去左端横坐标）
所以x1=2，x2=0，所以c=0
函数解析式为y=x²-2x
令g(x)=x²-2x-t

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以下修改一下：
g的对称轴为直线x=1，g(1)=-1-t≤0
g(-2)>0只需要满足以上两个不等式就行了，之前写错了，抱歉。
计算结果为-1≤t＜8

我在这里的思路是让原来的函数平移，因为对称轴为x=1，-2和3.5距离对称轴远的点为-2，所以平移过程中x=3.5这个点会先与x轴相交（开口向上，距离对称轴远的函数值大），所以只需要满足g(-2)>0

Answer 2

解：∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴=1，
解得：b=-2，
∵对称轴为直线x=1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=2，
∴直线与x轴交于（2，0），（0，0），
∴当x=0时，0+0+c=0，
∴c=0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0（t为实数）为x2-2x-t=0，
∴△=b2-4ac=4+4t≥0，
解得t≥-1，
又∵x=，
∴x=1±，
∵在-2＜x＜的范围内有实数解，
∴1-＞-2，
＜3，
∴t＜8
1+＜，
＜，
∴t＜
∴-1≤t＜8．
故答案为：-1≤t＜8．

Answer 3

公式打不出来，见图